Théorèmes, preuves et mathématiques avancées

Utilisez amsthm pour définir des environnements de théorème, lemme et définition, et proof pour composer les preuves. amsmath et amssymb fournissent les opérateurs courants, les ensembles en caractères ajourés et les symboles mathématiques.

Dans EasyLaTeX, choisissez pdfLaTeX ; chargez amsmath, amsthm et amssymb, ainsi que fontenc en T1 et babel en français pour le texte.

Définir les environnements de théorème#

Déclarez les environnements dans le préambule avec \newtheorem. Cette configuration numérote les théorèmes par section, par exemple « Théorème 1.1 » :

1\usepackage{amsthm}2​3\newtheorem{theorem}{Théorème}[section]4\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}5\theoremstyle{definition}6\newtheorem{definition}[theorem]{Définition}

[section] réinitialise la numérotation à chaque \section ; [theorem] fait partager le compteur des théorèmes aux lemmes et définitions. Choisissez un schéma cohérent conforme aux exigences du document plutôt que de mélanger arbitrairement les systèmes.

Théorèmes, lemmes et définitions#

Après leur déclaration, utilisez les environnements correspondants dans le corps du document :

1\begin{theorem}[Théorème de Pythagore]2Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des côtés de l’angle droit est égale au carré de l’hypoténuse.3\end{theorem}4​5\begin{definition}6Si l’ensemble \(A\) possède un nombre fini d’éléments, alors \(A\) est un ensemble fini.7\end{definition}

Le titre facultatif entre crochets identifie le théorème. Le style definition d’amsthm utilise normalement un texte droit et convient aux définitions, exemples et remarques.

Preuves#

L’environnement proof fourni par amsthm ajoute automatiquement un symbole de fin de preuve :

1\begin{proof}2Supposons \(a=b\). En ajoutant \(c\) aux deux membres, on obtient \(a+c=b+c\).3\end{proof}

Lorsqu’une preuve se termine par une équation hors texte, vous devrez parfois y placer explicitement le symbole :

1\begin{proof}2\[3  (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. \qedhere4\]5\end{proof}

\qedhere place le symbole à la fin de l’équation plutôt que sur une ligne distincte.

Opérateurs et ensembles usuels#

Utilisez les commandes d’opérateurs prédéfinies plutôt que des noms saisis comme des lettres italiques séparées :

1\[2  \sin x + \log y = \lim_{n \to \infty} a_n.3\]

Utilisez \mathbb pour les ensembles de nombres classiques :

1\[2  \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}.3\]

amssymb fournit \mathbb. Lorsque les notations de probabilité, d’espérance, de rang ou de concepts similaires varient, définissez leur sens à la première utilisation.

Opérateurs personnalisés#

Définissez les opérateurs de plusieurs lettres fréquemment utilisés dans le préambule avec \DeclareMathOperator :

1\DeclareMathOperator{\rank}{rank}2\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}

La forme étoilée place les limites directement sous ou au-dessus de l’opérateur en mode hors texte :

1\[2  \argmax_{x \in \mathbb{R}} f(x).3\]

N’imitez pas systématiquement un opérateur avec \mathrm{rank} : cette commande ne gère pas l’espacement et les limites comme un véritable opérateur.

Problèmes courants#

Environnement non défini#

Pour Environment theorem undefined ou Environment proof undefined, vérifiez que le préambule charge \usepackage{amsthm} et déclare \newtheorem avant le début du corps du document.

Les titres des théorèmes ne correspondent pas au modèle#

Comparez le résultat par défaut au modèle de votre établissement ou de l’éditeur. Si celui-ci définit déjà les environnements de théorème, réutilisez leurs noms et règles de numérotation au lieu de déclarer les mêmes noms une seconde fois.

\mathbb non défini#

Chargez \usepackage{amssymb}. Pour tout symbole ou commande non défini, identifiez le package qui le fournit plutôt que de copier un ensemble de réglages inexpliqués.

Exemple complet#

1\documentclass[a4paper,12pt]{article}2\usepackage[T1]{fontenc}3\usepackage{lmodern}4\usepackage[french]{babel}5\usepackage{amsmath}6\usepackage{amsthm}7\usepackage{amssymb}8​9\newtheorem{theorem}{Théorème}[section]10\theoremstyle{definition}11\newtheorem{definition}[theorem]{Définition}12\DeclareMathOperator{\rank}{rank}13​14\begin{document}15​16\section{Exemple}17​18\begin{definition}19Si \(A \subseteq \mathbb{R}\), alors \(A\) est un sous-ensemble des nombres réels.20\end{definition}21​22\begin{theorem}23Pour tous réels \(a\) et \(b\), on a \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).24\end{theorem}25​26\begin{proof}27En développant \((a+b)(a+b)\), on obtient28\[29  (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. \qedhere30\]31\end{proof}32​33\end{document}