Теоремы, доказательства и специальные формулы

Используйте amsthm для определения окружений теорем, лемм и определений, а proof — для набора доказательств. amsmath и amssymb предоставляют распространённые операторы, шрифт для числовых множеств и математические символы.

Настройка компилятора EasyLaTeX: XeLaTeX с fontspec и babel для русского текста; подключите amsmath, amsthm и amssymb.

Определение окружений теорем#

Объявите окружения в преамбуле через \newtheorem. Эта настройка нумерует теоремы по разделам, например «Теорема 1.1»:

1\usepackage{amsthm}2\renewcommand{\proofname}{Доказательство}3​4\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]5\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}6\theoremstyle{definition}7\newtheorem{definition}[theorem]{Определение}

[section] перезапускает нумерацию при каждом \section; [theorem] заставляет леммы и определения использовать общий счётчик теорем. Выберите единую схему, соответствующую требованиям документа, вместо произвольного смешивания схем.

Теоремы, леммы и определения#

После объявления используйте соответствующие окружения в основном тексте:

1\begin{theorem}[Теорема Пифагора]2В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.3\end{theorem}4​5\begin{definition}6Если множество \(A\) содержит конечное число элементов, то \(A\) — конечное множество.7\end{definition}

Необязательный заголовок в квадратных скобках указывает название теоремы. Стиль definition в amsthm обычно использует прямой основной шрифт и подходит для определений, примеров и замечаний.

Доказательства#

Окружение proof из пакета amsthm автоматически добавляет знак завершения доказательства:

1\begin{proof}2Предположим, что \(a=b\). Прибавляя \(c\) к обеим частям, получаем \(a+c=b+c\).3\end{proof}

Если доказательство заканчивается выключной формулой, может понадобиться явно поместить знак внутрь неё:

1\begin{proof}2\[3  (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. \qedhere4\]5\end{proof}

\qedhere ставит знак в конце формулы, а не на отдельной строке.

Распространённые операторы и множества#

Используйте встроенные команды операторов, а не набирайте их имена отдельными курсивными буквами:

1\[2  \sin x + \log y = \lim_{n \to \infty} a_n.3\]

Для стандартных числовых множеств используйте \mathbb:

1\[2  \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}.3\]

amssymb предоставляет \mathbb. Если обозначения вероятности, математического ожидания, ранга и подобных понятий неоднозначны, определите их смысл при первом использовании.

Собственные операторы#

Часто используемые многобуквенные операторы определяйте в преамбуле через \DeclareMathOperator:

1\DeclareMathOperator{\rank}{rank}2\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}

Форма со звёздочкой помещает пределы непосредственно под оператором или над ним в выключных формулах:

1\[2  \argmax_{x \in \mathbb{R}} f(x).3\]

Не имитируйте оператор повторяющимся \mathrm{rank}: эта команда не обрабатывает интервалы и пределы как настоящий оператор.

Частые проблемы#

Неопределённое окружение#

При Environment theorem undefined или Environment proof undefined проверьте, что в преамбуле подключён \usepackage{amsthm}, а \newtheorem объявлен до начала основного текста.

Заголовки теорем не соответствуют шаблону#

Сравните стандартный результат с шаблоном вашей организации или издателя. Если шаблон уже определяет окружения теорем, используйте их имена и правила нумерации, не объявляя те же имена повторно. Русское название доказательства можно явно задать через \renewcommand{\proofname}{Доказательство} после подключения amsthm.

Неопределённая команда \mathbb#

Подключите \usepackage{amssymb}. Для любого неопределённого символа или команды выясните, какой пакет их предоставляет, вместо копирования непонятного набора настроек пакетов.

Полный пример#

1\documentclass[a4paper,12pt]{article}2\usepackage{fontspec}3\setmainfont{CMU Serif}4\setsansfont{CMU Sans Serif}5\setmonofont{CMU Typewriter Text}6\usepackage[russian]{babel}7\usepackage{amsmath}8\usepackage{amsthm}9\renewcommand{\proofname}{Доказательство}10\usepackage{amssymb}11​12\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]13\theoremstyle{definition}14\newtheorem{definition}[theorem]{Определение}15\DeclareMathOperator{\rank}{rank}16​17\begin{document}18​19\section{Пример}20​21\begin{definition}22Если \(A \subseteq \mathbb{R}\), то \(A\) — подмножество действительных чисел.23\end{definition}24​25\begin{theorem}26Для любых действительных чисел \(a\) и \(b\) верно \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).27\end{theorem}28​29\begin{proof}30Раскрывая скобки в \((a+b)(a+b)\), получаем31\[32  (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. \qedhere33\]34\end{proof}35​36\end{document}