Theoreme, Beweise und weiterführende Mathematik

Definieren Sie mit amsthm Umgebungen für Sätze, Lemmata und Definitionen und setzen Sie Beweise mit proof. amsmath und amssymb stellen gebräuchliche Operatoren, Mengen in Tafelkreideschrift und mathematische Symbole bereit.

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Theoremumgebungen definieren#

Deklarieren Sie Umgebungen in der Präambel mit \newtheorem. Diese Konfiguration nummeriert Sätze abschnittsweise, etwa „Satz 1.1“:

1\usepackage{amsthm}2​3\newtheorem{theorem}{Satz}[section]4\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}5\theoremstyle{definition}6\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}

[section] startet die Nummerierung bei jedem \section neu; [theorem] lässt Lemmata und Definitionen den Satzzähler teilen. Wählen Sie ein einheitliches, zu den Vorgaben passendes Schema, statt verschiedene Schemata beliebig zu mischen.

Sätze, Lemmata und Definitionen#

Verwenden Sie nach der Deklaration die jeweiligen Umgebungen im Haupttext:

1\begin{theorem}[Satz des Pythagoras]2In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.3\end{theorem}4​5\begin{definition}6Hat die Menge \(A\) endlich viele Elemente, so ist \(A\) eine endliche Menge.7\end{definition}

Der optionale Titel in eckigen Klammern bezeichnet den Satz. Der Stil definition von amsthm verwendet normalerweise aufrechten Haupttext und eignet sich für Definitionen, Beispiele und Bemerkungen.

Beweise#

Die Umgebung proof aus amsthm ergänzt automatisch ein Beweisendezeichen:

1\begin{proof}2Es gelte \(a=b\). Addition von \(c\) auf beiden Seiten ergibt \(a+c=b+c\).3\end{proof}

Endet ein Beweis mit einer abgesetzten Gleichung, muss das Zeichen eventuell ausdrücklich darin platziert werden:

1\begin{proof}2\[3  (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. \qedhere4\]5\end{proof}

\qedhere setzt das Zeichen an das Gleichungsende statt auf eine eigene Zeile.

Gebräuchliche Operatoren und Mengen#

Verwenden Sie integrierte Operatorbefehle, statt Operatornamen als einzelne kursive Buchstaben zu schreiben:

1\[2  \sin x + \log y = \lim_{n \to \infty} a_n.3\]

Für die üblichen Zahlenmengen dient \mathbb:

1\[2  \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}.3\]

amssymb stellt \mathbb bereit. Wo die Notation für Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert, Rang oder ähnliche Begriffe variiert, erklären Sie ihre Bedeutung beim ersten Auftreten.

Eigene Operatoren#

Definieren Sie häufige mehrbuchstabige Operatoren in der Präambel mit \DeclareMathOperator:

1\DeclareMathOperator{\rank}{rank}2\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}

Die Sternform setzt Grenzen in abgesetzter Mathematik direkt unter oder über den Operator:

1\[2  \argmax_{x \in \mathbb{R}} f(x).3\]

Bilden Sie einen Operator nicht wiederholt mit \mathrm{rank} nach: Abstände und Grenzen werden dabei nicht wie bei einem echten Operator behandelt.

Häufige Probleme#

Undefinierte Umgebung#

Bei Environment theorem undefined oder Environment proof undefined prüfen Sie, ob die Präambel \usepackage{amsthm} lädt und vor dem Haupttext \newtheorem deklariert.

Satzüberschriften passen nicht zur Vorlage#

Vergleichen Sie die Standardausgabe mit Ihrer Hochschul- oder Verlagsvorlage. Definiert diese bereits Theoremumgebungen, verwenden Sie deren Namen und Nummerierungsregeln, statt dieselben Namen erneut zu deklarieren.

Undefiniertes \mathbb#

Laden Sie \usepackage{amssymb}. Ermitteln Sie bei undefinierten Symbolen oder Befehlen das zuständige Paket, statt eine unerklärte Sammlung von Paketeinstellungen zu kopieren.

Vollständiges Beispiel#

1\documentclass[a4paper,12pt]{article}2\usepackage[T1]{fontenc}3\usepackage{lmodern}4\usepackage[ngerman]{babel}5\usepackage{amsmath}6\usepackage{amsthm}7\usepackage{amssymb}8​9\newtheorem{theorem}{Satz}[section]10\theoremstyle{definition}11\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}12\DeclareMathOperator{\rank}{rank}13​14\begin{document}15​16\section{Beispiel}17​18\begin{definition}19Ist \(A \subseteq \mathbb{R}\), dann ist \(A\) eine Teilmenge der reellen Zahlen.20\end{definition}21​22\begin{theorem}23Für beliebige reelle Zahlen \(a\) und \(b\) gilt \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).24\end{theorem}25​26\begin{proof}27Ausmultiplizieren von \((a+b)(a+b)\) ergibt28\[29  (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. \qedhere30\]31\end{proof}32​33\end{document}